Para sacar los SMS de un móvil con android.
Vas a la play store y buscas: SMS Backup & restore.

1.icono app.jpg
Lo instalas.
2.pantalla de instalacion en el movil.jpg

Una vez instalado lo abres y le das a hacer copia de seguridad y le dices que lo almacene en
la tarjeta SD.

3.jpg
4.jpg
Ahora, conectas el móvil al pc y vas a la tarjeta SD.
Una vez conectado el móvil al pc le dices que abres el teléfono como unidad de disco para acceder a los datos de la tarjeta > listo.

Luego desde el ordenador vas a Equipo > disco extraible > carpeta SMSBackupRestore.

Ahí tienes dos ficheros, coger el fichero con la fecha de hoy o con el nombre que le pusiste.
Lo abres, y ya puedes copiar y pegar el contenido a un archivo de texto en el ordenador.